¿Puedo utilizar el widget de inicio de sesión de Instagram en mi página de inicio de sesión?

No. No hay tal opción por algunas razones.

Instagram ha anunciado que va a desactivar la API y nunca ha proporcionado direcciones de correo electrónico, por lo que no recibirías ninguna información de contacto válida de tus invitados.

El inicio de sesión de Instagram se ha utilizado en el pasado, sin embargo, nunca ha sido proporcionar direcciones de correo electrónico de los usuarios.

Es más, la API está ahora obsoleta y las nuevas opciones no incluyen un método de autenticación. Incluso recomiendan que si necesitas una solución de autenticación, utilices Facebook Login en su lugar. Consulta más información al respecto aquí.